Матач, помоги. Как доказать, что неприводимый над некоторым полем P многочлен не имеет совпадающих корней?
Аноним
21/07/21 Срд 20:42:31
№
1
По теореме Безу
Не врубаюсь, при чем тут она. Распиши подробнее, если у тебя есть идея.
Пусть a - дважды корень. Тогда f делится на (x-a)^2, т.е. f = g(x-a)^2. Тогда у многочлена f = g(x-a) корни те же самые, а степень на единичку ниже. Это противоречит тому, что f - минимальный многочлен.
f неразложим над P, являясь при этом многочленом над ним. Это следует из минимальности.
g(x-a) же вполне может не являться многочленом над P, а значит условие минимальности f не обязательно нарушается.
Т.е. нет никаких оснований считать, что многочлен g(x-a) будет многочленом над P, а значит будет противоречить условию.
Вообще, Постников ИМХО хуйню какую-то в этом абзаце спизданул. Он тут теорему одну доказывает, вот для доказательства достаточно потребовать, чтобы все эти беты и гаммы со скрина не совпадали и при этом являлись корнями исследуемых многочленов. Т.е. даже если у них есть совпадающие корни, мы среди бет и гамм совпадающих числен не пишем. С таким построением доказательство пойдет. Хз, нахуй он эту хуйню про минимальность спизданул, черт ебаный.
>>85824
>>85817 (OP)
Это какая-то лютая хуйня, к которой есть контрпример, сам его расписывал.
Так вот, если мы рассмотрим поле рациональных дробей Z_p(t) и в нем многочлен f(x) = x^p - t из Z_p(t)[x].
Тогда из леммы Гаусса для факториальных колец будет верно, что неприводимость над Z_p[t] экививалента неприводимости над Z_p(t).
t является простым элементом в Z_p[t], тогда применив критерий Эйзентштейна для факториальных колец, получаем, что f(x) неприводим.
Теперь в алгебраическом замыкание f(x) у этого многочлена будет корень a, a^p = t, тогда из того, что характеристика равна p, следует, что f(x) = x^p - t = x^p - a^p = (x - a)^p, вот тебе и кратный корень неприводимого многочлена
>>86759
Когда говорят про «корни многочлена над P”, подразумевают всё-таки, что речь идёт о корнях из P. Если в пике>>85817 (OP) имеется в виду именно это, то ошибки там нет, рассуждение>>85824 для таких корней, конечно, верное
Во-первых, в самом тексте нет фразы корни многочлена над P.
Во-вторых, Напомню определение минимального многочлена элемента поля над подполем $P \subset E$. Минимальный многочлен $\alpha$ над $P$, это приведенный многочлен минимальной степени, зануляющий $\alpha$.
Нетрудно понять, что этот многочлен будет неприводим в $P[x]$, так как иначе, он не минимален. А если он неприводим над $P$, то у него вообще корней в P нет, от слова совсем, если у многочлена есть есть корень, то он приводим по теореме Безу. Все корни будут как раз-таки лежать в $E$, а там они могут быть одинаковыми по моему примеру выше.
>>Когда говорят про «корни многочлена над P”, подразумевают всё-таки, что речь идёт о корнях из P.
Нет, не подразумевают, когда говорят корни многочлена над P, говорят что корень многочлена над $P[x]$, анон, иди с базовой литературой по алгебре ознакомься.
Нужно взять производную и затем воспользоваться алгоритмом евклида.