А если к радикалам мы добавим «модифицированные радикалы», определяемые как корень уравнения x^n - b*x - a = 0, то до какой степени мы сможем добраться? Понятно, что до пятой сможем. А дальше сможем?
Если речь про $\mathbb{C}$, то $$\forall n\in\mathbb{N} \exists x: \ \ x^n+a=0, \ \ a\in\mathbb{a},$$ а если речь про какое-то другое поле или тело, то ситуация усложняется. И тогда надо смотреть каждый конкретный случай отдельно.
По поводу уравнения вида $$x^n+bx+a=0$$ можно сказать, что тут для $\mathbb{C}$ в радикалах выше третьей степени нельзя выразить решение. По крайней мере, я не знаю, как тут быть. Единственное, что я могу посоветовать, поискать на форумах или в статьях по такому вопросу. Думаю, кто-то мог найти какую-нибудь хитрую постановку(замену переменной), чтобы выразить в радикалах.
> По крайней мере, я не знаю, как тут быть.
Для поля характеристики 0, многочлен разрешим в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима. Какая группа Галуа у многочлена $x^n + bx + a$ над $\mathbb{C}(a,b)$?
>>126940
Вопрос был не про разрешимость $x^n + bx + a$ в радикалах, а про разрешимость многочленов в «модифицированных радикалах», которые я определяю как корни $x^n + bx + a$.
То есть берём $\mathbb{Q}$, расширяем его корнями $x^n + bx + a$, где $a, b \in \mathbb{Q}, n \in \mathbb{N}$, и далее вопрос: до какой степени можно будет решить любой многочлен в таких «модифицированных радикалах»? Понятно, что можно решить все многочлены пятой степени (так как все они сводятся к форме Бринга—Джеррарда $x^5 \pm x + k$ при помощи преобразований Чирнгауза). А шестой степени?
ОП
Блин, почему при наборе формул TeX, окружённых долларами, они начинаются с новой строки? Как набирать, чтобы не начиналась новая строка?
https://mathoverflow.net/questions/61409/using-higher-order-bring-radicals-to-solve-arbitrary-polynomials?_gl=1psytji_gaNDU1MDQ2NTUzLjE3ODQ1ODI4OTg._ga_S812YQPLT2*czE3ODU2Mjk2NDUkbzQkZzEkdDE3ODU2MzAwOTckajQyJGwwJGgw
Спасибо. Этот вопрос Дэниела Миллера я уже читал. Там чел спрашивает, можно ли для каждого n найти конечное количество многочленов степени n, параметризованных одним параметром t, в корнях которых и радикалах можно будет выразить корни любого многочлена степени n (так же, как в корнях $x^5+x-a$ и радикалах, т. е. корнях $x^5-a, x^3-a, x^2-a$, можно выразить корни любого многочлена степени 5). Ответы, кстати, мутные. Ответ со ссылкой на работу Абьянкара непонятный. Ответ weux082690 неправильный, т. к. отсутствие топологических препятствий для существования таких многочленов ещё не означает существования этих многочленов.
А я немного другое спросил. До какой степени n можно решать многочлены степени n, если добавить корни $x^n-bx-a$? Здесь параметры не только a и b, но и n. То есть добавляем все корни $x^5-bx-a$, $x^6-bx-a$, $x^7-bx-a$ и так для всех n — можно ли в этих корнях и радикалах выразить корни любого многочлена 6 степени? А 7 степени? (И так далее.)
Сейчас я понимаю, что ответ на мой вопрос — дальше 5 степени не добраться. Потому что уже для многочленов 6 степени корней $x^6-bx-a$ (что эквивалентно корням $x^6-x-a$ после замены переменной) недостаточно — нужны также корни $x^6-x^2-bx-a$.
Так что у меня теперь другой вопрос.
Корни $x^2+a_1 x + a_0$ можно выразить в корнях $x^2+a$.
Корни $x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0$ можно выразить в корнях $x^2+a$ и $x^3+a$.
Корни $x^4+\vdots$ можно опять-таки выразить в корнях $x^2+a$ и $x^3+a$.
Корни $x^5+\vdots$ можно выразить в корнях $x^2+a, x^3+a, x^5+a*x+b$ (преобразования Чирнгауза) ИЛИ ЖЕ $x^2+a, x^3+a, x^5+a, x^5+x+a$ (заменили одно двухпараметрическое семейство на два однопараметрических заменой переменной).
Корни $x^6+\vdots$ можно выразить в корнях $x^2+a, x^3+a, x^6+x+a, x^6+x^2+ax+b$.
Внимание, вопрос: можно ли заменить корни двухпараметрического семейства многочленов $x^6+x^2+a x+b$ корнями нескольких (конечного количества) однопараметрических семейств многочленов?
Тест $x^2+1=0$ тест.
Блин, почему сейчас оно сработало, а в моих постах выше (>>127883 и >>128031) каждая формула начинается с новой строки?
У меня так показывает. Насколько вижу, формулы с новой строки не начинаются.
>>128035
Спасибо. Значит, это мой браузер тупит (Сафари). Причём во всплывающих окошках показывает правильно, а в ленте каждую формулу начинает с новой строки ¯\_(ツ)_/¯
>Внимание, вопрос: можно ли заменить корни двухпараметрического семейства многочленов $x6+x2+ax+b$ корнями нескольких (конечного количества) однопараметрических семейств многочленов?
Оказывается, это открытая проблема. Гильберт предположил, что нельзя — гипотеза Гильберта о многочлене шестой степени.
Аналогичная гипотеза Гильберта о многочлене седьмой степени, т. е. что трёхпараметрическое семейство многочленов $x^7 + x^3 + a x^2 + b x + c$ нельзя заменить на конечное число двухпараметрических семейств, называется тринадцатой проблемой Гильберта.
Короче, прокомментировал там два неверных ответа. Один пишет, что ответ на первый вопрос ОПа отрицательный. Другой пишет, что ответ на первый вопрос ОПа положительный. Но дело в том, что если бы мы знали ответ на первый вопрос ОПа, то мы бы знали и ответ на гипотезу Гильберта о многочлене шестой степени, а это открытая проблема. Из этой истории делаю вывод, что ответам на mathoverflow.net доверять нельзя.
ОП
А разве она не решена? Или ты имеешь ввиду представление двухпараметрическими функциями "корней полиномов", а не произвольными функциями, как в теореме Колмогорова-Арнольда?
Большинство математиков считают, что в 13-й проблеме Гильберт имел в виду не непрерывные функции, а алгебраические функции. Владимир Арнольд, решивший «непрерывный» вариант 13-й проблемы, тоже так считал (более того, говорил, что вся его математическая деятельность была так или иначе связана с поиском ответа на «алгебраический» вариант).
Гипотезы Гильберта о многочленах шестой степени и восьмой степени сформулированы чётко для алгебраических функций.
Вот, нашёл это место у Гильберта ( https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0097?tify=%7B%22pages%22%3A%5B254%5D%2C%22pan%22%3A%7B%22x%22%3A0.397%2C%22y%22%3A0.787%7D%2C%22view%22%3A%22info%22%2C%22zoom%22%3A0.444%7D ):
Für die Normalform sechsten Grades $x^6 + u x^2 + v x + 1 = 0$ mißlingen, wie es schneit, die Versuche, sie durch Funktionen nur eines Argumentes mit Hinzunahme der Summe zu lösen; es liegt daher die Vermutung nahe, daß die Wurzel dieser Gleichung sechsten Grades eine Funktion von der verlangten Beschaffenheit darstellt.
Was die Gleichung siebenten Grades $x^7 + u x^3 + v x^2 + w x + 1 = 0$ anbetrifft, so habe ich schon in meinem zu Anfang dieser Mittellung genannten Vortrage die Vermutung ausgesprochen, daß dieselbe sogar mit Hilfe beliebiger stetiger Funktionen zweier Argumente nich lösbar ist; auch für diese Behauptung steht der Nachweis noch aus.
Desgleichen ist vermutlich die Wurzel ser Gleichung achten Grades nicht zusammesetzbar aus Funktionen von nur drei Argumenten, vielmehr scheit es, daß die obige Normalgleichung achten Grades im fraglichen Sinne wesentlich eine Funktion der vier Argumente $u, v, w, p$ ist.
То бишь по-нашему:
Для уравнения шестой степени $x^6 + u x^2 + v x + 1 = 0$ попытки решить его, используя функции только с одним аргументом, включая сумму, неизменно терпят неудачу; поэтому разумно предположить, что корень этого уравнения шестой степени является функцией требуемого характера.
Что касается уравнения седьмой степени $x^7 + u x^3 + v x^2 + w x + 1 = 0$, я уже высказывал предположение в своей лекции, упомянутой в начале этой статьи, что его нельзя решить даже с помощью произвольных непрерывных функций с двумя аргументами; доказательство этого утверждения еще не получено.
Аналогично, корень этого уравнения восьмой степени, по-видимому, не может быть вычислен из функций только с тремя аргументами; скорее, оказывается, что вышеупомянутое уравнение восьмой степени по существу является функцией четырех аргументов $u, v, w, p$ в рассматриваемом смысле.
Обрати внимание на слово «даже». Поскольку он предполагал, что для непрерывных невозможно, то и для алгебраических (реальный объект его интереса) невозможно.